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Leprincipe est simple de dire que nous calculons 30% dâune somme signifie que ce nombre est coupĂ© en 100 parties identiques et vous en prenez 30. Partant de ce principe, leObjectifs Connaitre la formule de la somme des n + 1 premiĂšres puissances d'un nombre et l'utiliser. Calculer la somme de termes consĂ©cutifs d'une suite gĂ©omĂ©trique, directement ou non. Calculer la limite de cette somme. Pour bien comprendre Connaitre la notion de suite. Savoir ce qu'est une suite gĂ©omĂ©trique. Calculer le terme gĂ©nĂ©ral d'une suite. Calculer les puissances d'un nombre. 1. Rappels sur les suites gĂ©omĂ©triques On dit qu'une suite un est gĂ©omĂ©trique s'il existe un rĂ©el q non nul tel que, pour tout n entier naturel, on ait un+1 = qun. Le rĂ©el q s'appelle la raison de la suite. Exemple La suite dĂ©finie par un+1 = 2un avec u0 = 1 est une suite gĂ©omĂ©trique de raison 2. Les premiers termes de cette suite sont 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16⊠Dire qu'une suite de termes non nuls est gĂ©omĂ©trique signifie que le quotient de deux termes consĂ©cutifs quelconques est constant, quel que soit n. PropriĂ©tĂ© Le terme gĂ©nĂ©ral d'une suite gĂ©omĂ©trique un peut s'exprimer directement en fonction de n avec un = u0qn ou un = upqnâp quel que soit p, entier naturel. Il est ainsi possible, connaissant u0 ou up et q, de calculer nâimporte quel terme de la suite. Exemple Pour une suite gĂ©omĂ©trique de raison â0,3 et de premier terme u0 = 7, on peut Ă©crire un = u0 Ă â0,3n et ainsi connaitre directement la valeur de n'importe quel terme de la suite. Par exemple, u4 = 7 Ă â0,34 = 7 Ă 0,0081 = 0,0567. 2. Somme des puissances d'un rĂ©el q PropriĂ©tĂ© Soit q un rĂ©el et n un entier naturel. On a S = 1 + q + q2 + ⊠+ qn = pour q â 1. Remarque Pour q = 1, cette somme vaut simplement . DĂ©monstration S = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn En multipliant S par q on obtient qS = q + q2 + q3 + ⊠+ qn+1. Soustrayons membre Ă membre ces deux inĂ©galitĂ©s S â qS = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn â q + q2 + q3 + ... + qn + qn+1 Dans le membre de droite, q, q2, q3, âŠ, qn s'Ă©liminent. Ainsi, il reste S1 â q = 1 â qn+1. En divisant par 1 â q, pour q â 1, on obtient . On retiendra que n + 1 est le nombre de termes dans la somme S. Exemple La somme des 10 premiĂšres puissances de 2 est S = 1 + 2 + 22 + ⊠+ 29 = = 210 â 1 = 1023. 3. Somme de termes consĂ©cutifs d'une suite gĂ©omĂ©trique a. PremiĂšre formule On considĂšre la suite gĂ©omĂ©trique un de raison 1,2 et de premier terme u0 = â4. Calculons la somme S = u3 + u4 + ⊠+ u15. L'expression de un en fonction de n est un = u0 Ă qn = â4 Ă 1,2n. Ainsi, la somme S s'Ă©crit S = â4 Ă 1,23 â 4 Ă 1,24 ⊠â 4 Ă 1,215 et, en factorisant par â4 Ă 1,23 , on obtient S = â4 Ă 1,23 [1 + 1,2 + ⊠+ 1,212] En utilisant la formule 1 + q + q2 + q3 + ⊠+ qn = on obtient Sn = u0 + ⊠+ un = u0 Ă Spn = up + ⊠+ un = up Ă Remarque On peut bien sĂ»r retenir ces formules, mais on les retrouve rapidement en combinant le terme gĂ©nĂ©ral d'une suite gĂ©omĂ©trique et la somme des premiĂšres puissances de la raison q. b. DeuxiĂšme formule Soit un une suite et n et p deux entiers naturels. PropriĂ©tĂ©s Soit S = up + up+1 + ⊠+ un une somme de termes consĂ©cutifs dâune suite. Le nombre de termes de cette somme est n â p + 1. Le premier terme de cette somme est up. Si cette suite est gĂ©omĂ©trique de raison q, alors on peut mĂ©moriser cette somme par S = 1er terme Ă Exemple Soit un une suite gĂ©omĂ©trique de raison 4 telle que u5 = 1. Alors S = u5 + u6 + ⊠+ u12. S = 1er terme Ă Or 1er terme = u5 = 1 ; raison = 4 ; nombre de termes de S = n â p + 1 = 12 â 5 + 1 = 8. S = 1 Ă = 21 845 c. TroisiĂšme formule Soit un une suite gĂ©omĂ©trique de raison q et de premier terme u0 . Sn = u0 + u1 + u2 + ⊠+ un Sn = u0 Ă Sn = Sn = Or un = u0qn Donc Sn = Autrement dit, Sn = . Exemple On va calculer S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128. On reconnait une somme de termes consĂ©cutifs dâune suite gĂ©omĂ©trique de 1er terme 1 et de raison 2. Donc S = = 255. 4. Comportement de cette somme lorsque n tend vers +â Vous avez dĂ©jĂ mis une note Ă ce cours. DĂ©couvrez les autres cours offerts par Maxicours ! DĂ©couvrez Maxicours Comment as-tu trouvĂ© ce cours ? Ăvalue ce cours ! Commentcalculer le raglan tricot ? CALCUL D'UNE EMMANCHURE RAGLAN: Pour rĂ©aliser ce calcul, il faut diviser en 3 le nombre de mailles du devant (ou du dos, gĂ©nĂ©ralement, c'est le mĂȘme) en comptant deux parties Ă©gales, une pour chaque Ă©paule et une troisiĂšme lĂ©gĂšrement plus petite pour l'encolure. Comment diminuer 1 maille Ă 2 mailles du bord ? Diminuer les
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